Rotomotetia- التشابه الحلزوني

 في الهندسة الرياضية، التحاكي الدوراني)(ويُعرف أيضاً باسم التشابه الحلزوني هو تحويل هندسي في المستوى أو الفضاء ينشأ عن تركيب دوران وتحاك يشتركان المركز نفسه. ولذلك فعملية التركيب بينهما عملية تبادلية: أي أن تطبيق الدوران أولاً ثم التحاكي يعطي النتيجة نفسها لتطبيق التحاكي أولاً ثم الدوران.

تشابه حلزوني يحول المثلث ABC إلى المثلث A'B'C'

وعلى الرغم من أن أصل هذه الفكرة غير معروف، إلا أنها وُثِّقت عام 1967 بواسطة كوكسيتر (Coxeter) في كتابه «عودة إلى الهندسة» (Geometry Revisited)، وفي عام 1969 — باستخدام مصطلح «الدوران التوسعي» (dilative rotation) — في كتابه «مقدمة في الهندسة» (Introduction to Geometry).

الخصائص والوصف

التشابه الحلزوني هو تشابه مباشر، ويمتلك الخصائص الأساسية التالية:

• مركز التشابه: إذا كان معامل التحاكي ${\displaystyle k\ne 1}$، فإن التحويل يمتلك نقطة ثابتة واحدة فريدة ${\displaystyle O}$ تُسمى مركز التشابه.
• الحفاظ على الشكل: هو تحويل حافظ للزوايا (Conformal): فهو يحافظ على الزوايا الموجهة وعلى نسب الأطوال بين القطع المستقيمة، محولاً أي شكل مستوٍ إلى شكل مشابه له.
• المسار: عند تطبيق التشابه الحلزوني بشكل متكرر على نقطة ${\displaystyle P}$، فإن متتالية النقاط الناتجة تقع على حلزون لوغاريتمي قطبه هو المركز ${\displaystyle O}$.

التمثيل الجبري

في المستوى المركب، وبافتراض أن مركز التشابه يقع في نقطة الأصل ${\displaystyle O(0,0)}$، يُعبر عن التشابه الحلزوني بضرب العدد المركب في عدد مركب آخر غير صفري ${\displaystyle w}$:

${\displaystyle z^{\prime }=w\cdot z}$

وبكتابة ${\displaystyle w}$ بالصورة القطبية ${\displaystyle w=k{e}^{i\theta }}$:

• يمثل ${\displaystyle k=|w|}$ معامل التحاكي ().
• تمثل ${\displaystyle \theta =\arg (w)}$ زاوية الدوران.

وبصورة عامة، يُعبر عن أي تشابه حلزوني في المستوى المركب بمركز عام ${\displaystyle z_0}$ بالصيغة:

${\displaystyle z^{\prime }=az+b\text{حيث }a,b\in \mathbb{C},a\ne 0}$

حيث ينشأ المركز ${\displaystyle z_0}$ كنقطة ثابتة تحقق المعادلة ${\displaystyle z_0=a{z}_0+b}$.

الإنشاء الهندسي للمركز

ليكن لدينا قطعتان مستقيمتان موجهتان وغير متوازيتين ${\displaystyle AB}$ و ${\displaystyle A^{\prime }{B}^{\prime }}$، فإنه يوجد تشابه حلزوني واحد فقط ينقل ${\displaystyle A\to A^{\prime }}$ و ${\displaystyle B\to B^{\prime }}$. يمكن تحديد المركز ${\displaystyle O}$ هندسياً عن طريق تقاطع الدوائر:

1. ننشئ المستقيم المر بالنقطتين ${\displaystyle A}$ و ${\displaystyle A^{\prime }}$، والمستقيم المر بالنقطتين ${\displaystyle B}$ و ${\displaystyle B^{\prime }}$، لنحدد نقطة تقاطعهما ${\displaystyle P}$.
2. ننشئ الدائرة المارة بالنقاط ${\displaystyle A}$ و ${\displaystyle B}$ و ${\displaystyle P}$، والدائرة المارة بالنقاط ${\displaystyle A^{\prime }}$ و ${\displaystyle B^{\prime }}$ و ${\displaystyle P}$.
3. نقطة التقاطع الثانية بين الدائرتين (بخلاف النقطة ${\displaystyle P}$) تمثل مركز التشابه ${\displaystyle O}$.

المراجع

• H.S.M. Coxeter, Introduction to Geometry, 2nd ed., New York, John Wiley & Sons, 1969, ISBN 978-0-471-50458-0.
• I.M. Yaglom, Geometric Transformations II, Washington D.C., Mathematical Association of America, 1962, ISBN 978-0-88385-608-6.

انظر أيضاً

• تحاك
• دوران
• تشابه
• حلزون لوغاريتمي
• عدد مركب

1.  Coxeter, H.S.M. (1969). Introduction to Geometry (2 ed.). New York, London, Sydney and Toronto: John Wiley & Sons. pp. 72–75.

Rotomotetia

In geometria, una similitudine spirale (nota anche come rotomotetia) è una trasformazione geometrica del piano

 o dello spazio definita dalla composizione di una rotazione e di un'omotetia aventi lo stesso centro.

Poiché le due trasformazioni condividono il medesimo centro, la loro composizione è commutativa: applicare prima la rotazione e poi l'omotetia produce lo stesso risultato del processo inverso.

Una similitudine a spirale che trasforma il triangolo ABC nel triangolo A'B'C'.

Descrizione e proprietà

Una similitudine spirale è una similitudine diretta. Le sue caratteristiche fondamentali sono:

• Centro di similitudine: Se il fattore di scala k dell'omotetia è diverso da 1, la trasformazione ammette un unico punto fisso O, detto centro della similitudine.
• Conservazione della forma: È una trasformazione conforme: conserva gli angoli orientati e i rapporti tra le distanze, trasformando ogni figura piana in una figura ad essa simile.
• Traiettoria: Applicando ripetutamente una similitudine spirale a un punto P, la successione dei punti generati giace su una spirale logaritmica avente il polo nel centro O.

Costruzione del centro

Dati due segmenti orientati non paralleli AB e A'B', esiste un'unica similitudine spirale che mappa A ad A' e B ad B'. Il centro O si determina sinteticamente mediante l'intersezione di circonferenze:

1. Si traccia la retta passante per A e A' e la retta passante per B e B', individuando il loro punto d'intersezione P. 2. Si costruisce la circonferenza passante per A, B e P, e la circonferenza passante per A', B' e P. 3. Il secondo punto di intersezione tra le due circonferenze (oltre al punto P) definisce il centro di similitudine O.

Bibliografia

• H.S.M. Coxeter, Introduction to Geometry, 2ª ed., New York, John Wiley & Sons, 1969, ISBN 978-0-471-50458-0.
• I.M. Yaglom, Geometric Transformations II, Washington D.C., Mathematical Association of America, 1962, ISBN 978-0-88385-608-6.