Gaspard Monge,
Géométrie descriptive,
1a ed.
1794-95. 6a ed.
1837
Gaspard Monge è considerato l'iniziatore della
geometria pura moderna. Monge fu tra i fondatori dell'École Politecnique, una
delle strutture educative (dedicate all'istruzione superiore) sorte dalla
Rivoluzione Francese. Un insegnamento nuovo introdotto da Monge fu quello della
geometria descrittiva. L'opera di Monge, Géométrie Descriptive (1794-95),
raccoglie le lezioni tenute all'École Normale dell'anno terzo.
Contiene il metodo della doppia proiezione ortogonale, ossia il metodo ancora in
uso nel disegno geometrico, per cui da due proiezioni su due piani ortogonali
(pianta e alzata), uno dei quali ribaltato sull'altro, si ottengono le proprietà
della figura spaziale e viceversa.
L'insegnamento di Monge all'École
Politecnique formò nuove generazioni di ingegneri e stimolò la rinascita della
geometria sintetica che ebbe uno sviluppo straordinario nella prima metà
dell'Ottocento.
Il teorema di Monge qui riportato è un esempio in cui la
dimostrazione di un teorema di geometria piana è più semplice facendo uso della
geometria dello spazio.
Tre cerchi qualunque del piano considerati a due a due hanno le tangenti
comuni che si incontrano in tre punti allineati.
Se si considerano le tre sfere di cui questi cerchi sono i cerchi massimi e
un piano tangente esternamente a tutte e tre, questo piano sarà tangente
esternamente anche ai tre coni circoscritti alle sfere considerate a due a
due, e passerà per i tre vertici D, E, F.
Ma questi tre vertici sono pure nel piano dei tre centri, dunque si trovano
all’intersezione di due piani diversi, e per conseguenza sono in linea
retta.
Per trovare il centro di similitudine di due cerchi
basta fissare ad arbitrio un raggio su una delle due circonferenze e
tracciare il raggio parallelo nell'altra. La retta congiungente gli estremi
di questi due raggi sulla circonferenza interseca la retta dei centri nel
centro di similitudine.
Il teorema sui triangoli omologici
Girard Desargues,
contemporaneo di Descartes, sviluppò i principi della geometria proiettiva (Brouillon
projet, 1639). Messa in ombra dai successi della geometria analitica,
l’opera di Desargues sarà riscoperta nell’Ottocento. Il teorema di Desargues
sui triangoli omologici, tuttavia è contenuto in un'opera dell'incisore
Abraham Bosse intitolata "Manière universelle de M. Desargues pour
pratiquer la prospective".
Se in due
triangoli ABC e A’B’C’, i vertici omologhi concorrono in un punto O (proprio
o all’infinito) le rette dei lati omologhi si incontrano in punti allineati,
e viceversa.
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Configurazione di
Desargues nel piano
con centro in un punto proprio
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Configurazione di Desargues nello spazio
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Configurazione di Desargues nel
piano
con centro all’infinito
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Configurazione di Desargues nel
piano
con lati
paralleli (retta all’infinito)
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Dimostriamo il
teorema in questo caso. Supponiamo che le rette congiungenti i vertici dei
triangoli concorrano in un punto O e che due coppie di lati siano paralleli: AB║A'B'
, AC║A'C' .
Mostriamo che
anche BC e B’C’ sono paralleli, allora P, Q,
R, intersezioni dei lati corrispondenti, risulteranno allineati in
quanto appartenenti alla retta all’infinito.
AB ║ A'B'
u/v = r/s e AC ║ A'C'
x/y = r/s
u/v = x/y
BC ║ B'C'
u/v = r/s e AC ║ A'C'
x/y = r/s
u/v = x/y
BC ║ B'C'
L’implicazione inversa si dimostra in modo analogo.
_______________________
R. Currant e H. Robbins, Che
cos'è la matematica? Introduzione elementare ai suoi concetti e metodi,
Torino, Boringhieri, 1950, (ed. or. 1941)
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