28.8.13

Tre cerchi qualunque del piano considerati a due a due hanno le tangenti comuni che si incontrano in tre punti allineati

Gaspard Monge, Géométrie descriptive, 1a ed. 1794-95. 6a ed. 1837


Gaspard Monge è considerato l'iniziatore della geometria pura moderna. Monge fu tra i fondatori dell'École Politecnique, una delle strutture educative (dedicate all'istruzione superiore) sorte dalla Rivoluzione Francese. Un insegnamento nuovo introdotto da Monge fu quello della geometria descrittiva. L'opera di Monge, Géométrie Descriptive  (1794-95), raccoglie le lezioni tenute  all'École Normale dell'anno terzo. Contiene il metodo della doppia proiezione ortogonale, ossia il metodo ancora in uso nel disegno geometrico, per cui da due proiezioni su due piani ortogonali (pianta e alzata), uno dei quali ribaltato sull'altro, si ottengono le proprietà della figura spaziale e viceversa.
L'insegnamento di Monge all'École Politecnique formò nuove generazioni di ingegneri e stimolò la rinascita della geometria sintetica che ebbe uno sviluppo straordinario nella prima metà dell'Ottocento.
Il teorema di Monge qui riportato è un esempio in cui la dimostrazione di un teorema di geometria piana è più semplice facendo uso della geometria dello spazio.
Tre cerchi qualunque del piano considerati a due a due hanno le tangenti comuni che si incontrano in tre punti allineati.
Dimostrazione
Se si considerano le tre sfere di cui questi cerchi sono i cerchi massimi e un piano tangente esternamente a tutte e tre, questo piano sarà tangente esternamente anche ai tre coni circoscritti alle sfere considerate a due a due, e passerà per i tre vertici D, E, F.
Ma questi tre vertici sono pure nel piano dei tre centri, dunque si trovano all’intersezione di due piani diversi, e per conseguenza sono in linea retta.
Per trovare il centro di similitudine di due cerchi basta fissare ad arbitrio un raggio su una delle due circonferenze e tracciare il raggio parallelo nell'altra. La retta congiungente gli estremi di questi due raggi sulla circonferenza interseca la retta dei centri nel centro di similitudine.


Il teorema sui triangoli omologici
 
Girard Desargues, contemporaneo di Descartes, sviluppò i principi della geometria proiettiva (Brouillon projet, 1639). Messa in ombra dai successi della geometria analitica, l’opera di Desargues sarà riscoperta nell’Ottocento. Il teorema di Desargues sui triangoli omologici, tuttavia è contenuto in un'opera dell'incisore Abraham Bosse intitolata "Manière universelle de M. Desargues pour pratiquer la prospective".
Se in due triangoli ABC e A’B’C’, i vertici omologhi concorrono in un punto O (proprio o all’infinito) le rette dei lati omologhi si incontrano in punti allineati, e viceversa.
 
Configurazione di Desargues nel piano
con centro in un punto proprio
          
 
 
 
 
Configurazione di Desargues nello spazio
 
Configurazione di Desargues nel piano
con centro all’infinito
 
 
 
 
 
 
Configurazione di Desargues nel piano
con  lati  paralleli (retta all’infinito)
 
 
Dimostriamo il teorema in questo caso. Supponiamo che le rette congiungenti i vertici dei triangoli concorrano in un punto O e che due coppie di lati siano paralleli: ABA'B'  ,  ACA'C'  . 
Mostriamo che anche BC e B’C’ sono paralleli, allora P, Q, R, intersezioni dei lati corrispondenti, risulteranno allineati in quanto appartenenti alla retta all’infinito.
ABA'B' u/v = r/s      e      ACA'C' x/y = r/s          u/v = x/y BCB'C'
L’implicazione inversa si dimostra in modo analogo.
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R. Currant e H. Robbins, Che cos'è la matematica? Introduzione elementare ai suoi concetti e metodi, Torino, Boringhieri, 1950, (ed. or. 1941)