Ombre come sezioni coniche- Shadows as conic sections. ظل خط على سطح مخروطي كمقطع مخروطي

 الدكتور حسن العيسوي
https://www.researchgate.net/profile/ Hasan-Isawi

Description	Italiano: Ombre come sezioni coniche. L’ombra di una retta su una superficie conica e’ una conica (eventualmente degenere). Secondo la giacitura del piano di luce ,passante per tale rette, rispetto alle generatrici del cono, l'ombra della retta può essere rispettivamente: Un ellisse, quando il piano di luce λ taglia tutte le generatrici del cono K Un parabola quando il piano λ seziona K ed e’ parallelo ad una generatrici di K Una iperbole quando λ seziona K ed e’ parallelo a due generatrici di K Un punto quando il piano di luce passa per il vertice di K Una retta quando il piano di luce tange la superficie di K Ombra iperbolica di una retta su un cono Anche in questo caso, come gli altri casi delle coniche ottenute come sezioni di un un cono quadrico con un piano, l'iperbole si può ottenere nello spazio come ombra di una retta sul cono, nella condizione in cui tale retta debba appartenere ad un piano che passa per il vertice del cono e che lo seziona secondo due generatrici. Si fa notare che le direzione di queste generatici sono paralleli alle direzioni degli asintoti dell’iperbole. Premodellazione La fase di premodellazione (o la fase di costruzione geometriche preparatorie) , consiste nel determinare degli elementi minimi indispensabili per la generazione dei modelli e in particolare la determinazione delle reciproche posizioni di un cono di rotazione K e di un piano di luce λ parallelo a due generatici di K. Elementi notevoli del cono Gli elementi notevoli che permettono di generare un cono di rotazione sono la generatrice g e l’asse a, che bisogna che siano i lati di un triangolo rettangolo per poter generare il modello solido del cono. Si fa ricordare che la modellazione solida, Come stato citato nel paragrafo dedicato, si differenzia dalle altre modalità Wireframe e Mesh, per tanti vantaggi che offre, quali la possibilità di determinarvi l’intersezione con un piano con un solido, la possibilità di svuotare il solido lasciando un spessore al proprio involucro (solidedit, shell), la possibilità di determinarvi fisicamente le proiezioni ortogonali su un piano (solprof). Individuazione del piano di luce Bisogna sottolineare il fatto che il modo più rapido per definire un piano λ secante un cono K e parallelo a due generatrici di K, e’ quello di assumere un piano ausiliario che passa per il vetrice di K e che lo seziona secondo due generatrici b d. In questo modo qualsiasi piano λ parallelo a γ e secante il cono produce come sezione una iperbole avente asintoti paralleli alle due generatrici. Questi operazioni di costruzioni geometriche preparatorie possono essere eseguite sia nello spazio che nel piano con il classico metodo di Monge. Si fa ricordare che due piani sono paralleli tra loro se ciascun piano contiene due rette parallele all’altro piano. E questo discende dal concetto di parallelismo tra una retta ed un piano, secondo il quale una retta r e’ parallela ad un piano γ se e’ parallela ad una retta f di γ . Per inciso, si individuano le due generatrici b d come sezione di un piano γ con il cono e poi per il punto dato P si disegna la retta r parallela ad una retta f appartenente al piano γ . tecnicamente si procede come di seguito: Si fa passare per il vertice V del cono un piano γ secante il cono secondo due generatrici b d. Si fa notare che in questo modo abbiamo già deciso la giacitura del piano di luce, dato che i piani λ e γ debbono essere tra loro paralleli per costruzione, si sceglie una retta f appartenente al piano γ . si fa passare per P una retta r parallela alla retta f. Si fa ricordare che due rette sono paralleli ta loro quando ciascuna retta ha due proiezioni parallele alle proiezioni omonime dell'altra retta. Per inciso, per P si fa passare r parallela ad f e per P1 si disegna r1 parallela ad f1. si individua la direzione del raggio luminso l, detrminando il punto d’intersezione V* di una retta apartenete a gamma e passante per il vertice V con il piano della base del cono. Si fa notare che una volta definito il piano di luce λ, che per costruzione passa per r ed e' parallelo alle due genratrici b d del piano γ, la scelta di qualsiasi raggio luminoso l passante per P e appartenente a λ non modifica il risultato della sezione iperbolica ottenuta come sezione di λ con il cono. العربية: ظل خط على سطح مخروطي كمقطع مخروطي ظل خط مستقيم على سطح مخروطي يمكن ان يكون قطع مخروطي (ربما متدهور ( وفقا لميلان مستوى الضوء λ (المار بالخط) بالنسبة لرواسم المخروط ، القطع المخروطي يمكن أن يكون على التوالي : قطع ناقص ، عندما مستوى الضوء λ يقطع جميع رواسم سطح المخروط K. قطع مكافئ عندما مستوى الضوء λ يوازي واحد من رواسم K قطع زائد عندما λ يوازي اثنين من رواسم K نقطة عندما λ يمر بقمة K خط عندما λ يلامس سطح K ظل خط على مخروط كقطع زائد في هذة الحالة, كما في حالات القطع المخروطية الأخرى التي واجهناها سابقاً ، يتم الحصول على مقطع مخروطي كظل لخط على مخروط. ظل الخط يكون قطع زائد اذا كان الخط موازي لمستوى مار بقمة المخروط وقاطعة وفقاً لراسمين. ينبغي معرفة ان الخطوط المقاربة (Asymptote) للقطع الزائد تكون موازية لتلك الرواسم. مرحلة ما قبل النمذجة مرحلة ما قبل النمذجة (أو الانشاءات الهندسية التحضيرية) ، تكمن في تحديد الحد الأدنى من العناصر اللازمة لانشاء النماذج اللازمة (مخروط ومستوى ضوء) ومواضعهم المتبادلة (توازي, تقاطع العناصر الهامة للمخروط الدوراني العناصر الرئيسية التي تسمح بتوليد المخروط الدوراني تتكون من راسم السطح ومحور الوران. والتي ، التي يجب ان تكونان ضلعين لمثلث قائم الزاوية من اجل توليد نموذج صلب للمخروط. وتجدر الإشارة إلى أن النمذجة الصلبة ، كما ذكر في الباب ذو الصلة، تتميز عن طرق النمذجة الاخرى ( السلكية Wireframe- والسطحيةMesh-) باستحقاقات عديدة مثل القدرة على توليد مقاطع مستوية او فراغية لمجسمات صلبة ، او تجويفها بترك سمك معين للجدار الخاصة بها ، او القدرة على توليد اسقاطات متعامدة لها على مستوى معين (solid profiles) تحديد مستوى الضوء وينبغي التأكيد على أن أسرع طريقة لتحديد مستوى λ يقطع مخروط وفقاً لقطع زائد هي في استخدام مستوى مساعد γ يمر بقمة المخروط ويقطع المخروط وفقاً لراسمي, بهذه الطريقة ، أي مستوى λ موازي للمستوى γ يقطع المخروط وفقاً لقطع زائد. يمكن تنفيذ هذه العمليات التحضيرية في كل من الفراغ بواسطة اسقاطات منفردة او على المستوى بواسطة طريقة مونج الكلاسيكية. ينبغي الاخذ في الاعتبار ان مستويان يكونان متوازيان لبعضها البعض إذا كان كل مستوى يحتوي على خطين متوازيين للمستوى الاخر. وهذا يعتمد على مفهوم اخر وهو التوازي بين خط ومستوى، والذي بموجبه خط r يكون موازي لمستوى γ عندما يكون موازي لخط على المستوى γ. وبالاشارة الى المثال المقترح، يتم أولا تحديد المستوى γ الذي يقطع المخروط وفقاً لراسمين ومن ثم من النقطة المعطية P يتم رسم خط r موازي لخط f ينتمي للمستوى γ. تقنياً نشرع على النحو التالي : يتم قطع المخروط بمستوى γ مار بقمة الرأس وقاطع المخروط وفقاً لراسمين b و d. تجدر الإشارة إلى أنه في هذة الطريقة قد حددنا بالفعل ميلان مستوى الضوء ، منذ ان المستويات γ و λ يجب أن يكونوا متوازية مع بعضها البعض كشرط لحل هذة المسألة. يتم اختيار خط f تنتمي إلى المستوى γ. ومن ثم نمرر بالنقطة P الخط r بحيث يكون موازي للخط f . تجدر الإشارة إلى أن خطان يكونان متوازيان لبعضها البعض اذا كان لكل خط اسقاطين متوازيين بالتوالي لاسقاطين الخط الاخر. أي من النقطة P نمرر الخط r موازي للخط f ، ومن P1 نمرر r1 مواز للخط f1. * يتم ايجاد اتجاة شعاع ضوء كخط ينتمي الى المستوى γ ويمر برأس المخروط ويقطع مستوى القاعدة في النقطة V*. ينبغي الاخذ في الاعتبار انة بمجرد تحديد المستوى λ , الذي يوازي للراسمان المنتميان للمستوى γ , اختيار أي شعاع ضوء l مار بالنقطة P ومنتمي ل λ لا يغير القطع الزائد الناتج من تقاطع λ والمخروط.
Date	07/11/2010
Source	Own work
Author	Hasanisawi

هذا الرسمة تم إنشائها وتحميلها من قبل المهندس المعماري حسن العيسوي

Questa immagine opera dell'architetto Hasan ISAWI

Sito dell'autore: http://assex.altervista.org/geomtr-1.htm

Autorizzazione accordata : OTRS #2006051010012313

La liberazione della Palestina e' solo questione di tempo. Rivoluzione fino alla vittoria.