l'ombra di una retta su una superficie conica come parabola - the shadow of a line on a conical surface as a parabola- ظل خط مستقيم على مخروط كقطع مكافئ

   الدكتور حسن العيسوي

https://www.researchgate.net/profile/ Hasan-Isawi

--------------------------------------

Italiano: l'ombra r* di una retta r su una superficie conica K, si determina come parabola d'intersezione del piano di luce passante per r con tale superficie K. Premodellazione Stabilito di volere rappresentare l'ombra parabolica di una retta r su un cono di rotazione K. Le operazioni di premodellazione sono i seguenti: Si disegna una circonferenza ∆ appartenente al primo piani di proiezione come base di K. Si disegna una retta verticale a passante per il centro V1 di ∆ come asse di rotazione del cono K. Si fissa su asse a un punto V come vertice di K. si disegna una generatrice g, di K, passante per il vertice V e per un punto G della base ∆. Per disegnare una retta r nello spazio in modo che sia parallela alla generatrice g, si decide un punto T'r come prima traccia di r e da questo si traccia r1 parallela g1 e r parallela a g. Si traccia una retta verticale da un punto P1 di r1 e si individua il punto P come intersezione con r. Per determinare il raggio luminoso l si considera r come retta di massima pendenza del piano di luce passante per r . Per cui la prima traccia del piano passa per T'r ed ha direzione perpendicolare ad r1. Poiché l'ombra di una retta su un piano coincide con la retta d'intersezione tra il piano di luce passante per r con tale piano che riceve l'ombra, per cui in questo caso la prima traccia t'λ del piano di luce λ coincide con l'ombra r* di r su π1. In ultimo si decide P* su t'λ e si unisce con P individuando la il raggio luminoso L. La prima proiezione l1 del raggio luminoso si individua unendo P1 con P*. Modellazione in questo cono si procede alla generazione del modello del cono e quella delle ombre. Si sceglie il triangolo VV1G come figura generatrice e la retta V1-V come asse di rotazione. Si genera l'ombra della retta e del cono scegliendo la retta P-P* come direzione di una sorgente di luce impropria. Analisi concettuali e tecniche A questo punto, dopo che abbiamo finita di preparare i modelli componenti l'esercizio in questione, si passa alla ultima fase quella di analizzare i concetti e le tecniche riguardanti le ombre generate. Le coniche La parabola si ottiene sezionando un cono quadrico con un piano parallelo ad una generatrice del cono. In questo caso per ottenere un ombra parabolica della retta r su un cono K, bisogna che il piano di luce sia parallelo ad una generatrice di K. Per verificare il parallelismo del piano con una generatrice del cono, si fa passare per il vertice del cono un piano ausiliario gamma e secondo la giacitura di gamma rispetto alle generatrici del cono, la sezione può essere, rispettivamente: -un ellisse, se gamma non e’ parallelo a nessuna generatrice; significa che λ seziona tutte le generatrici del cono in punti propri dell’ellisse. Una parabola, se gamma e’ parallelo ad una generatrice. significa che λ seziona tutte le generatrici in punti propri meno una che la incontra in un punto improprio. Il Quale rappresenta la direzione dell’asse della parabola. Una iperbole se gamma e’ parallelo a due generatrici. questo significa che λ sezione tutte le generatrici del cono in punti propri meno due generatrici che li incontra in due punti impropri che rappresentano le direzioni degli asintoti dell’iperbole Parallelismo retta e piano l'ombra di una retta su un cono e' parabolica se il piano di luce λ passante per la retta r risulta parallelo ad una generatrice del cono. Si tiene presente che un piano λ e’ parallelo ad una retta g se λ contiene una retta r parallela alla retta g. In questo caso, si vuole costruire un piano di luce parallela alla generatrice g del cono. A tale fine si prende un punto P del raggio luminoso l e per esso si fa passare una retta r parallela alla generatrice g. La prima traccia di λ (coincidente con l’ombra r* di r) si individua unendo la prima traccia T’r di r con la prima traccia P* del raggio luminoso l. Punti notevoli Per determinare il vertice della parabola si fa passare per l’asse del cono un piano β in modo che sia perpendicolare al piano di luce λ. A tale fine, per V1 si fa passare la prima traccia di β perpendicolare alla prima traccia di λ. Si determina la generatrice d’intersezione tra β ed il cono; si determina la retta d’intersezione m tra β e λ; infine, il punto d’intersezione tra le due rette individua il vertice M della parabola. come i punti notevoli della parabola sono il vertice. La retta m rappresenta l’asse della parabola. Per determinare un punto generico della parabola si può ripetere l’operazione precedente utilizzando un altro piano ausiliario passante per l'asse di K, e con questo piano sezionare sia il cono sia λ e in ultimo individuare il punto cercato come intersezione delle due sezioni trovate. osservazioni In considerazione del fatto che due piani sono tra loro paralleli se ciascun piano contiene due rette parallele all’altro piano. E questo può essere risolto mediante un altro concetto: una retta e’ parallela ad un piano se la retta e’ parallela ad una retta del piano. Secondo tale considerazione e con riferimento all'esempio in questione non e’ possibile costruire un piano di luce passante per una data retta r in modo che sia parallelo alla generatrici g del cono. Per cui, per impostare questo problema si stabilisce inizialmente un punto P e poi una volta che stato definito il piano di luce passante per P verrà scelto un altro punto appartenete a lamda per definire la retta r. Si fa notare che una volta che stato costruito il piano di luce λ parallelo alla generatrice g del cono, la scelta di qualsisi raggio di luce appartenente a λ, non cambia i risultati delle ombre ottenute, ma modifica solo la posizione dell’ombra P* del estremo P lungo la prima traccia di λ . Inoltre, e poiché per semplicità stata presa la retta r in posizione particolare, parallela alla generatrice g, bisogna sottolineare il fatto che tutte le rette appartenenti a λ producono la stessa ombra. ovvero presa una altra retta n appartenente a λ , l’ombra di n coincide con l’ombra di r sia sul cono sia su π1 العربية: ظل خط مستقيم على مخروط كقطع مكافئ ناتج من تقاطع بين مستوى الضوء المار بالخط والمخروط مثال 2: ظل خط على سطح مخروطي كقطع مكافئ ظل خط مستقيم على مخروط كقطع مكافئ ناتج من تقاطع بين مستوى الضوء المار بالخط والمخروط عمليات ما قبل النمذجة عمليات ما قبل النمذجة الهادفة إلى إنشاء الكيانات المذكورة يمكن أن تكون كالتالي: نرسم دائرة Δ على مستوى الإسقاط الأول كقاعدة للمخروط K. نرسم من مركز Δ خط رأسي a كمحور دوران للمخروط. ونثبت علية نقطة V كقمة للمخروط. نعين الراسم g, من K, بتمرير خط بالقمة V وبنقطة G من القاعدة . لرسم خط r موازي للراسم g، نعيين نقطة T'r على 1π كأول اثر للخط r ومنة نرسم المسقط الأول r1 للخط r بحيث يكون موازي للمسقط الاول g1 للراسم g. نرسم خط رأسي من نقطة P1 من r1 ونعيين علية نقطة P, ثم نرسم الخط r بتوصيل النقطتين T'r P. من أجل رسم شعاع الضوء l نعتبر r كخط أقصى انحدار لمستوى الضوء, وبذلك نرسم الأثر الأول لمستوى الضوء λ عمودي على الإسقاط الاول r1. وبما ان ظل خط على مستوى تحدد كتقاطع بين هذا المستوى ومستوى الضوء المار بالخط, لذلك في هذه الحالة الأثر الأول t'λ للمستوى λ يتطابق مع ظل الخط r . وأخيرا نعيين الظل P* للنقطة P على t'λ ومن ثم بوصل النقطتين P* P نجد اتجاه شعاع الضوء L الاسقاط الاول l1 لهذا الشعاع يمر بالنقطتين P1 P*, . النمذجة التلقائية نشرع بتوليد نموذج المخروط والظلال الساقطة والذاتية للمخروط والخط . لتوليد المخروط نعيين المثلث VV1G كشكل راسم للمخروط , باختيار الخط V1-V كمحور للدوران, والقيمة 360 كزاوية للدوران. لتوليد ظلال المخروط والخط r نعيين الخط P-P* كاتجاه لمصدر ضوء لانهائي. تحليل المفاهيم والتقنيات بعد الانتهاء من إعداد النماذج المعنية لهذه المسألة ، نشرع الى المرحلة الأخيرة لتحليل المفاهيم والتقنيات المتعلقة بالظلال المنشئة تلقائياً. القطع المكافئ يتم الحصول على القطع المكافئ بقطع مخروط ثنائي بمستوى مواز لراسم من رواسم المخروط. في هذه الحالة ، للحصول على ظل الخط r كقطع مكافئ يجب أن يكون مستوى الضوء λ موازي لراسم المخروط g. للتحقق من نوع القطع المخروطي، نمرر بقمة المخروط K مستوى مساعد γ, ووفقاً لميلان هذا المستوى بالنسبة لرواسم المخروط، المقطع يمكن أن يكون ، على التوالي: - قطع ناقص عندما يكون γ غير موازي لرواسم K ؛ وهذا يعني ان λ يقطع جميع رواسم K. - قطع مكافئ، إذا كان γ يقطع جميع رواسم K باستثناء راسم واحد والذي يمثل محور القطع المكافئ؛ - مقطع زائد عندما γ يقطع جميع رواسم المخروط باسثناء راسمان واللذان يمثلان اتجاه الخطان المقاربان للمقطع الزائد توازي بين خط ومستوى ظل خط مستقيم على مخروط يكون قطع مكافئ إذا كان مستوى الضوء موازي لراسم من رواسم المخروط. ينبغي وضع في الاعتبار ان مستوى λ يكون موازي لخط g, إذا كان هناك خط r ينتمي الى λ موازي للخط g. في هذة الحالة يراد إنشاء مستوى ضوء λ موازي للراسم g للمخروط. بهذه الغاية نعيين نقطة P على شعاع الضوء l ومنة نمرر خط موازي للراسم g. نحدد الاثر الاول للمستوى λ (متطابق مع الظل r* للخط r بتوصيل الاثر الاول T’r للخط r مع الأثر الأول (متطابق مع الظل P*) لشعاع الضوء المار بالنقطة P. نقاط هامة لتحديد قمة القطع المكافئ, نمرر بمحور المخروط مستوى β عمودي على مستوى الضوء λ (المار بالخط r). الاثر الاول لβ يمر بالاسقاط الاول V1 لقمة المخروط ويكون عمودي على الاثر الاول ل λ. نحدد راسم التقاطع بين β والمخروط؛ ونحدد خط التقاطع m بين المستويات β و λ . وأخيرا ، نجد قمة القطع المكافئ كنقطة تقاطع M بين الراسم والخط m. الخط m يمثل محور القطع المكافئ. لتحديد نقطة عامة للقطع المكافئ يتم تكرار العملية السابقة باستخدام مستوى مساعد أخر بحيث يمر بمحور المخروط. نحدد تقاطع المستوى المساعد مع المخروط ومع λ لايجاد بالتوالي الراسم d والخط b. وأخيرا نجد نقطة المطلوبة كتقاطع بين الخطين d و b . ملاحظات في ضوء حقيقة أن مستويان يكونان متوازيان إذا كان عل كل مستوى منهما يوجد خطين متوازيين للمستوى الأخر. وبما أن خط يكون موازي لمستوى إذا كان موازي لخط من المستوى, فأنة غير ممكن, بالإشارة إلى المثال المعني, تحديد مستوى ضوء مار λ بخط معطي r بحيث يكون موازي لراسم المخروط. وبالتالي ، لإعداد هذه المسألة ينبغي أولا تحديد نقطة P ومن ثم, بمجرد تعريف أي مستوى ضوء λ مار بالنقطة P , يمكن اختيار نقطة ثانية من λ لإيجاد الخط r. ينبغي الأخذ في الاعتبار أنه بمجرد إيجاد مستوى الضوء λ موازي لراسم مخروط ، عملية اختيار أي شعاع الضوء من بين العدد اللانهائي من الخطوط المنتمية للمستوى λ ، لا تغير نتائج الظل التي تم الحصول عليها، ولكنة يُغير فقط موضع ظل النقط P على طول الاثر الاول للمستوى λ، بالإضافة إلى ذلك وبما أنة تم أخذ الخط r في وضع خاص: موازي للراسم g ، ينبغي التأكيد على حقيقة أن جميع الخطوط المنتمية إلى المستوى λ تنتج نفس الظل. مثلاً إذا أخذنا خط آخر n منتمي إلى λ ، ظل n يتطابق مع ظل الخط r على كل من سطح المخروط ومستوى الإسقاط الأول π1.
Source	Own work
Author	Hasanisawi

هذا الرسمة تم إنشائها وتحميلها من قبل المهندس المعماري حسن العيسوي

Questa immagine opera dell'architetto Hasan ISAWI Sito: http://assex.altervista.org/geomtr-1.htm

Autorizzazione accordata : OTRS #2006051010012313

Palestina libera, rivoluzione fino alla vittoria